平方根

　　紀元前１８００年のバビロニヤから出土品に、一辺１の正方形の対角線の長さを1.414213と刻まれている粘土板があるそうです。(Ｅ.マォール著伊里由美訳ピタゴラスの定理　岩波書店)

　この1.414213という数は驚異的な数です。一辺を１メートルとすると、1ｍ41㎝4㎜213μです。千分の一ミリまで正確に測ったのか、計算で求めたのか不思議なんです。

　一辺が１の正方形の対角線の長さは三平方の定理で求めることができます。縦の長さの２乗たす横の長さの２乗を求めます。 1^²+１²=２、２乗して２になる数が対角線の長さです。２乗して２になる数を２の平方根といい√２と書きます。そうしてルート２と読みます。
　
　２乗して３になる数は√３です。ところで２乗して３になる数はもう１つあります、-√３です。

　２乗して４になる数は±√４ですが±２も２乗すれば４でますから、√４=２で、-√４=-２です。


平方根の書き方について、今、使ってますフォントは文の上に線を引くことができません、そこで、平方根区切りに)

を付けることにしました。例えば、√a+b-c)のように書きました。この式はa+b-cの正の数の平方根を表しています。


　上に書きました一辺1の正方形の対角線の長さは次のように求めたと思われます。

まず、一辺が1の対角線の長さは二乗すると２になる数であると分かっていたとします。

　１の２乗は１で２より小さいです。２の２乗は４で大きすぎます。そこで、１と２の間の数1.5の２乗も計算します。

　この後は式で書きます。
　　　　　　　
　　　　　1²<2<2²　　1.5²=2.25だから
　　　　　1²<2<1.5²　　1.4²=1.96だから
　　　　　1.4²<2<1.5²　　1.45²=2.1025だから
　　　　　1.4²<2<1.45² 　　1.41²=1.9881、1.42²=2.0164だから
　　　　　1.41²<2<1.42²　　　1.415²=2.002225だから
　　　　　1.41²<2<1.415²　　　1.414²=1.999396だから
　　　　　1.414²<2<1.415²　　　1.4145²=2.00081025だから
　　　　　1.414²<2<1.4145²　　　1.41425²=2.000103062だから
　　　　　1.414²<2<1.41425²　　　1.4142²=1.99996164だから
　　　　　1.4142²<2<1.41425²このようにして、√2の近似値の計算ができます。

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